적률생성함수 (Moment Generating Function)

적률생성함수 (Moment Generating Function)

적률생성함수에서 ‘적률’은 한자로는 ‘積率’으로 ‘쌓을 적’과 ‘비율 률’자를 써서 만들어진 단어입니다. 적률은 ‘확률 분포의 위치나 모양 따위의 특성을 나타내는 기댓값’으로 확률 분포에 대한 설명이 담겨있는 값 정도로 풀어서 이야기 할 수 있을 것 같습니다. 김우철 교수님의 수리통계학에서는 적률을 moment라고 설명하고 있습니다. 다른 분야에서도 볼 수 있는 moment generation function과 동일시 할 수 있는 개념이 적률 생성 함수라고 생각하시면 될 것 같습니다.

적률생성함수는

\[M(t)=\sum^{\infty}_{x=0}e^{tx}f(x)\qquad (x=0, 1, 2,\;\cdots)\]

의 식으로 정의 되는데, 위의 식을 계속 미분해가면 아래와 같습니다.

\[\begin{align*} &\bigg[\frac{d}{dt}M(t)\bigg]_{t=0}=\sum^{\infty}_{x=0}xf(x) \\ &\bigg[\frac{d^2}{dt^2}M(t)\bigg]_{t=0}=\sum^{\infty}_{x=0}x^2f(x) \\ &\qquad\qquad\qquad\vdots\\ &\bigg[\frac{d^k}{dt^k}M(t)\bigg]_{t=0}=\sum^{\infty}_{x=0}x^kf(x) \\ &\qquad\qquad\qquad\vdots\\ \end{align*}\]

가 성립합니다.

이때 \(\sum^{\infty}_{x=0}x^kf(x)\)를 \(f\)의 \(k\)차 적률(moment)이라 부르고, 이는 \(f\)가 확률변수 \(X\)의 분포를 나타낼 때,

\[E(X^{k})\qquad (k=0, 1, 2,\;\cdots)\]

와 같습니다. 이러한 뜻에서 \(M(t)\)를 \(f\)의 적률생성함수 (moment generatinf function)라고 부릅니다.

출처

김우철. 수리통계학 = Mathematical Statistics / 김우철 지음, 2012.